Question

请教一个高一的数学问题

已知向量a=（sinx 1),向量b=（cosx,-0.5)
1.当向量a⊥向量b时，求丨向量a+向量b丨（模长）
2.求函数F(x)=向量a·（向量a-向量b）的值域.
带详解，谢谢

Answer 1

解：（1）a=（sinx 1) b=（cosx,-0.5)
∵ a⊥b ∴a·b=0
丨a+b丨=√（a＋b）²=√（a²＋b²＋2ab）
=√（sin²x ＋1＋cos²x＋1/4）
=√9/4=3/2
（2）F(x)=a·（a-b）
=a²-ab
=sin²x ＋1-（1/2sin2x-1/2）
=（1-cos²x）/2-1/2sin2x＋3/2
=-√2/2sin（2x＋π4）+2∈[4-√2/2,4+√2/2]
∴值域：[4-√2/2,4+√2/2]

Answer 2

向量a⊥向量b 向量a*向量b=0 丨向量a+向量b丨=根号（向量a+向量b）^2=根号a的摸平方+b摸平方+2ab=3/2
F(x)=向量a·（向量a-向量b）=a的摸平方-向量a*b=sin^2x+1-sinxcosx-0.5=0.5+sin^2x-1/2sin2x ==-√2 sin(2x - π/4)+1 当x=3/8π是最小 =-根号2+1 当x=-1/8π时做大 =根号2+1