数列an=√2,an+1=√2+an,证明数列的极限存在并求其极限
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a₁＝√2＜2，
设 a(k)＜2，
则 a(k＋1)＝√[2＋a(k)]
＜√(2＋2)＝2，
归纳法知，数列有上界。
明显 a₂＝√(2＋√2)＞√2＝a₁，
设 a(k)＞a(k－1)，
则 a(k＋1)－a(k)
＝√[2＋a(k)]－√[2＋a(k－1)]
＝[a(k)－a(k－1)] / {√[2＋a(k)]＋√[2＋a(k－1)]}
＞0，
所以数列单调递增，
由此可得数列极限存在，
设极限为 a，
已知等式两边取极限，
得 a＝√(2＋a)，
解得 a＝2 。
设 a(k)＜2，
则 a(k＋1)＝√[2＋a(k)]
＜√(2＋2)＝2，
归纳法知，数列有上界。
明显 a₂＝√(2＋√2)＞√2＝a₁，
设 a(k)＞a(k－1)，
则 a(k＋1)－a(k)
＝√[2＋a(k)]－√[2＋a(k－1)]
＝[a(k)－a(k－1)] / {√[2＋a(k)]＋√[2＋a(k－1)]}
＞0，
所以数列单调递增，
由此可得数列极限存在，
设极限为 a，
已知等式两边取极限，
得 a＝√(2＋a)，
解得 a＝2 。
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