Question

求以下算式的和，答案以n表示 1+3+5+7+⋯+(2n−3)+(2n−1)+(2n−3)+⋯+7+5+3+1

求以下算式的和，答案以n表示。
1+3+5+7+⋯+(2n−3)+(2n−1)+(2n−3)+⋯+7+5+3+1

Answer 1

解：从题中数列1+3+5+7+…+（2n-3）+(2n-1)，发现该数列为一等差数列，第一项为a1=1，公差为d=2，那么，an=a1+(n-1)d=1+2（n-1）=2n-1，则该等差数列的和为：Sn1=n（a1+an）/2=n(1+2n-1)/2=n的平方
而an-1=1+[(n-1)-1]×2=1+2n-4=2n-3，那么，（2n-3）+…+7+5+3+1的和等于，Sn2=(n-1)[1+(2n-3)]/2=（n-1）[2n-2]/2=（n-1）×（n-1）=n的平方-2n+1
所以题意所求和为Sn1+Sn2=n的平方+n的平方-2n+1=2•n的平方-2n+1