Question

关于x的一元二次方程2x^2-ax-2=0的两根α，β（α<β）函数。f(x)=(4x-a)/(x^2+1)

关于x的一元二次方程2x^2-ax-2=0的两根α，β（α<β）函数。f(x)=(4x-a)/(x^2+1) （1） 求f(α)×f(β)的值
（2）证明f(x)是[α,b]的增函数
（3）当a为何值时f(x)在区间[α,b]上的最大值和最小值之差最小？
（2） （3）中是区间【α，β】 打错了，不好意思

Answer 1

解：（1）由韦达定理得：α+β=a/2 (1)
α×β=-1 (2)
f(α)×f(β)=)=(4α-a)（4β-a）/(α^2+1) (β^2+1)
=[16α×β-4a(α+β)+a^2]/[α^2×β^2+(α+β)^2-2α×β+1]
将（1）（2）代入得：f(α)×f(β)=-4
（2）令g（x）=2x^2-ax-2，显然开口向上，又两根为α，β，故当x在
[α,β]区间上时g（x）<=0
对f（x）求导
f'(x)=[4(x^2+1)-2x(4x-a)]/(x^2+1)^2
=-2[2x^2-ax-2]/(x^2+1)^2=-2g(x)/(x^2+1)^2>=0
所以f(x)是[α,β]的增函数
（3）由（2）知f（x）为[α,β]的增函数 故最大值为f（β），最小值为
f（α），
f（β）- f（α）=(4β-a)/(β^2+1)-(4α-a)/(α^2+1）=根号下（16+a^2)
故a=0时最大值和最小值之差最小

Answer 2

那个区间端点b是什么东西... ...
貌似你在线啊.....高中不是有个什么α*β=？和α+β=?的公式嘛，用这个去做能解决第一问，第二问貌似求个导嘛。。。导数没学的话，用增函数的定义应该可以解决，第三问直接套第二问的既然是增函数，最大最小值即为端点值，然后继续用第一问的α*β=？和α+β=？去做呗，不就行了