Question

牛吃草问题

Answer 1

牛吃草问题总结
牛吃草变形题分块
1. 从问题的角度分：草长，问时间
1.有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果
养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析
（这种方法叫列表分析）
27头牛 6天 27×6＝162 ：原有草量＋6天生长的草量
23头牛 9天 23×9＝207 ：原有草量＋9天生长的草量
从上易发现：9－6＝3天生长的草量＝207－162＝45，即1天生长的草量＝45÷3
＝15；
那么原有草量：162－15×6＝72或207－15×9＝72。
21头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下6头牛需要72÷6＝12（天）可
将原有草吃完，即它可供21头牛吃12天。

2.一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40
分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水
淘完?
分析：设1人淘1分钟淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方
便分析
3人 40分钟 3×40=120：原有水+40分钟的进水
6人 16分钟 6×16=96 ：原有水+16分钟的进水
从上易发现：24（=40-16）分钟的进水量=120-96=24，即：1分钟的进水量=1；
那么原有水量：120-40×1=80；
5人中有1人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量1 ，剩下4人需要80÷4=20
（分钟）将把水淘完。

2. 从条件的角度分：草减，问牛。
3.有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天.那么它
可供几头牛吃20天?
分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析
12头牛 25天 12×25＝300 ：原有草量＋25天生长的草量
24头牛 10天 24×10＝240 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现： 25－10＝15天生长的草量＝300－240＝60，即1天生长的草量＝
60÷15＝4；
那么原有草量：240－4×10＝200；
20天里，共草场共提供草200＋4×20＝280，可以让280÷20＝14（头）牛吃20
天。

4.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少.已知
某块草地上的草可供40头牛吃5天，或可供30头牛吃6天.照此计算，可以供
多少头牛吃10天?
分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分
析
40头牛 5天 40×5＝200 ：原有草量－5天自然减少的草量
30头牛 6天 30×6＝180 ：原有草量－6天自然减少的草量
从上容易发现：1天自然减少的草量＝20；那么原有草量：200＋5×20＝300；
10天吃完需要牛的头数是：300÷10－20＝10（头）。

5.一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些水，
现在要派人将水淘出船外，如果派10个人需要4小时淘完；如果派8个人需要
6小时淘完.若要求用2小时淘完，需要派多少人?
分析：设1人1小时淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便
分析
10人 4小时 10×4＝40 ：原有水量＋4小时进水量
8人 6小时 8×6＝48 ：原有水量＋6小时进水量

从上易发现：2小时进水量＝48－40＝8，即1小时进水量＝4；那么原有水量：
40－4×4＝24；若2小时淘完，那么共需要淘出水：2×4＋24＝32 ,需要32÷2＝16
（人）
10.一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，
或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头
牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?

分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分
析
16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量
100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150：原有草量＋6天生长的草量
从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下
的10头牛吃原有草90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

11. 【附加选讲】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如
果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛
和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几
天可以将这片牧草吃尽？
分析：设1头马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
马和牛 15天 15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1）
马和羊 20天 20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2）
牛和羊（同马） 30天 30马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3）
由（1）×2－（3）可得： 30天牛吃草量＝原有草量牛每天吃草量＝原有草
量÷30；
由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草
量；
讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20得牛
每天吃草量＝2/3
这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷
（1＋2/3）＝12（天）。

【巩固】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的
总量正好是牛吃草的总量.如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，
可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天.这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它
们吃多少天?
分析：设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
牛和羊45天45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量（1）
牛和鹅60天60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量（2）
鹅和羊（同牛）90天90牛（鹅和羊）吃＝原有草量＋90天新长草量（3）
由（1）×2－（3）可得：90天羊吃草量＝原有草量羊每天吃草量＝原有草
量÷90；
由（3）分析知道：90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新
长草量；
讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝60，带入（3）90天羊吃草量＝60
得羊每天吃草量＝2/3
这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：6
0÷（1＋2/3）＝36（天）。
变形5：从问题的角度：（只问原草或只问新草）

12.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，
4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
分析：一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设
1人1天喝酒量为“1”
6人 4天 6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒
4人 5天 4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒
从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天。

13.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生话300年.
假设地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最
多能养活多少人?
分析：设1亿人1年消耗的资源为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便
分析
100亿人 100年 100×100＝10000：原有资源＋100年新增资源
80 亿人 300年 80×300＝24000：原有资源＋300年新增资源
从上容易发现：200年新增资源＝24000－10000＝14000，即1年新增资源＝70；
为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活70÷1＝70（亿）人。

【巩固】两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃往井底.白天往下爬，两只
蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米.黑
夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的.结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到
达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底.那么，井深多少米?
分析：一只蜗牛：5×白天下爬距离20 ＋ 5×夜晚下滑距离＝井深；
另一只蜗牛：6×白天下爬距离15 ＋ 6×夜晚下滑距离＝井深；
所以 5×20 ＋ 5×夜晚下滑距离＝ 6×15 ＋ 6×夜晚下滑距离，即1个夜晚下滑距
离＝10（分米），进而可得井深＝5×20 ＋ 5×10 ＝150（分米）。

经典的“牛吃草”的变例

变形6：从题型的角度：行程问题。

14.快中慢三辆车同时从同一点出发，沿同一条路追赶前面的骑车人，现在知道
快车速度为60千米／小时，中车的速度为50千米／小时，慢车速度为35千米
／小时,快车追上骑车人要4小时。中车追上骑车人要5小时，问：慢车追上骑
车人要几个小时？

分析：分析题知道车相当于“牛”，原来的追及路程相当于“原有草”，骑车人相当
于“新生草”，
设骑车人1小时走的路程为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
快车 60千米 4小时 60×4＝240 ：追及路程＋4小时骑车人走的路程
中车 50千米 5小时 50×5＝250 ：追及路程＋5小时骑车人走的路程
从上表看5－4＝1（小时）骑车人走的路程为（250－240）＝10，追及路程为：
240－10×4＝200
所以慢车追及骑车人需要：200÷（35－10）＝8（小时）。

15.有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追乙车，5小时后
甲车追上乙车，如果甲车以现在速度的3倍追乙车，3小时后甲车追上乙车，那
么如果甲车以现在的速度去追乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？
分析：分析题知道甲车相当于“牛”，甲追乙的追及路程相当于“原有草”，乙车相
当于“新生草”，
设甲的速度为“1”，摘录条件，讲其转化为如下的形式为
2倍的甲速 5小时 2×5＝10：追及路程＋5个小时乙走的路程
3倍的甲速 3小时 3×3＝ 9：追及路程＋3个小时乙走的路程
从表上看乙5－3＝2小时走的路程为10－9＝1，乙的速度为1÷2＝0.5，追及路
程为：10－0.5×5＝7.5
甲以现在的速度追乙的时间为：7.5÷（1－0.5）＝15（小时）。

【附加选讲】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若
骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，
1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多长时间可以追上小明？

分析：自行车：每小时15千米 3小时 15×3－3小时小明走的路程＝追及距离
摩托车：每小时35千米 1小时 35×1－1小时小明走的路程＝追及距离
所以15×3－3小时小明走的路程＝35×1－1小时小明走的路程，即1小时小明走
的路程＝5（千米），那么追及距离＝15×3－5×3＝30（千米）。汽车去追的话需要：
30÷（45－5）＝（小时）＝45（分钟）。
变形7：从题型的角度：多块草地

16.有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且
长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：
第三块草地可供50头牛吃几周?
分析：设1头牛1周吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分
析
24头牛6周吃掉24×6＝144份，说明：
1公亩牧场 6周提供144÷4＝36份草：1公顷原有草量＋ 6周1公顷新生草
36头牛12周吃掉36×12＝432份，说明
1公亩牧场12周提供432÷8＝54份草：1公顷原有草量＋12周1公顷新生草
每公亩牧场12－6＝6周多提供54－36＝18份草，说明1公亩牧场1周的草生长
量为18÷6＝3份， 1公顷原有草量＝36－3×6＝18。1天10公顷新生草＝3×
10＝30；10公顷原有草＝18×10＝180；
50头牛中，若有30头牛去吃每天生长的草，那么剩下的20头牛需要180÷20=9
周可以把原有草量吃完，即这块草地可供50头牛吃9周。

17.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长,
这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一
块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？
分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便
分析
18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然增加的草量
27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然增加的草量
从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天
生长草量＝72÷8＝9；
那么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9＝144。
则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；原有草量：144
×（6000÷2000）＝432.
6天里，共草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。

18.【拓展】可以在十二讲的【例5】的基础上拓展为：有一块1200平方米的牧
场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头
牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块
牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？
分析：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便
分析
10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量
15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，即1
天生长草量＝50÷10＝5；
那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100
×（3600÷1200）＝300.
75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）
可将原有草吃完，即它可供25头牛吃5天。
　　变形8：排队问题
19.画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来
的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场
口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

分析：入场口为“牛”， 开门前原有的观众为原有“原有草量”，每分钟来的
观众为“草的增长速度”

设每一个入场口每分钟通过“1”份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便
分析
3个入场口 9分钟 3×9＝27 ：原有人＋9分钟来的人
5个入场口 5分钟 5×5＝25 ：原有人＋5分钟来的人
从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝2，即1分钟来的人＝0.5；那么原有的人：
27－9×0.5＝22.5；
这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分）。第一个观众到达的时间为9点
－45分=8点15分。
说明：从表面是看这个问题与牛吃草问题相离很远，可谓风马牛不相及，但仔细
体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似“草长的速度”；入场口类似“牛”，
问题就变成牛顿问题了。解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是
否掌握了方法的实质。

变形9：电梯问题和工程问题。
20.自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子从扶梯上楼.已知男
孩每分钟走20级阶梯，女孩每分钟走15级阶梯，结果男孩用了5分钟到达楼上，
女孩用了6分钟到达楼上.问：该扶梯共有多少级?
分析：男孩： 每分钟20级 5分钟 20×5＋5分钟扶梯自动运行的台阶数＝扶梯
台阶数
女孩： 每分钟15级 6分钟 15×6＋6分钟扶梯自动运行的台阶数＝扶梯台阶数
所以20×5＋5分钟扶梯自动运行的台阶数＝15×6＋6分钟扶梯自动运行的台阶
数，即1分钟扶梯自动运行的台阶数＝100－90＝10，那么 扶梯台阶数＝100＋5
×10＝150（阶）。

解答牛吃草问题的常用步骤：
(1)求出两个总量；
(2)总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数；
(3)每天长草量×天数=新长出来的草；
(4)草的总量=新长出来的草+原有的草；
(5)原有的草÷吃原有草的牛=能吃多少天(或原有的草÷能吃多少天一吃原有草的
牛)。
方程法解牛吃草问题：
一般设出原有量、单位时间的增加量、单位时间消耗量来解题。
要点提示：
牛吃草问题的核心等式：
牛吃草总量=草场原有草量+新长草量
这两种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案进行的比较，
是获得解题思路的捷径。这种比较主要有两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时
间差”。
具体的关系为：
牛的头数×吃的天数=草场原有的草量+每天长草量×吃的天数
由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：
(1)每天长草量
(2)草场原有草量
【例】两个运动员逆着自动扶梯行驶的方向行走，A每秒可走5级阶梯，B每秒可走4级阶
梯。从扶梯的一端走到另一端，A用时200秒，B用时比A多两倍，那么该扶梯共多少级阶
梯？（ ）
　　 A．300 B．400 C．500 D．600
【答案】A
【解题关键点】根据题意，运动员走阶梯的速度×行走的时间=扶梯的具体数+扶梯行走的速
度×行走的时间。这是牛吃草问题的扩展，扶梯的阶数是“原有的草量”，运动员走阶梯的
速度就是“牛的头数”，扶梯行走的速度就是“草的增长速度”。可以直接应用牛吃草问题的
公式，扶梯每秒下降的级数是[4×200×（2+1）-5×200]÷[200×（2+1）-200]=3.5级，扶梯
的级数为（5-3.5）×200=300级。

Answer 2

【题目1】有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6个星期可以把草吃光；如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？

【题目2】因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

【题目3】有一牧场，草以固定的速度在增加，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽呢？

【题目4】牧场上长满了牧草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

【题目5】牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问供25头牛可吃几天？

【题目6】牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天。如果供给25头牛吃，可以吃几天？

【题目7】由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以匀速的速度减少，经测算牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

【题目8】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）

【题目9】假设地球上新生成资源的生长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或者可供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？

【题目10】一片牧草，如果让马和牛去吃，45天将草吃尽；如果让马和羊去吃，60天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，90天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量和等于马每天的吃草量。现在让马.牛羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

Answer 3

图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下：

【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是：

（1）设1头牛1天吃1份草；

（2）要求出每天（或每周等）新生长的草量；

（3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。

然后代入计算就可以了。

解：作线段图如下图：

设1头牛1天吃1份草，

则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份，

多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量，

所以每天生长的草量为： ＝15份/天；

则原有的草量为：162－6×15＝72份；

21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草，

所以可以吃： 天，因此可供21头牛吃12天。

历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。

主要类型：

1、求时间

2、求头数

除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

基本思路：

①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。

②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。

基本公式：

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶

(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

第一种：一般解法

“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。”

一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)

(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)

(3)1天新长的草为：(207-162)÷(9-6)=15

(4)牧场上原有的草为：27×6-15×6=72

(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21-15)=72÷6=12(天)

所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

第二种：公式解法

有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草?(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛?

解答：

1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)

原有草量：21×8-12×8=72(份)

16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)

2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数

所以最多只能放12头牛。

Answer 4

牛顿问题：牛吃草问题或消长问题

Answer 5