Question

数学向量证明题

已知O为原点，A、B、C为平面内三点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是，OC=αOA+βOB，且α，β属于R，α+β=1。
哎，向量的上划线打不来，各位大侠帮帮忙吧

Answer 1

1) 充分性
αOA+βOB=OC=(α+β)OC
因此α(OA-OC)+β(OB-OC)=0
因此αCA+βCB=0
故A,B,C共线
2) 必要性
A,B,C共线
因此存在不全为零的实数s和t,使得
sAC+tBC=0
即s(OC-OA)+t(OC-OB)=0
因此sOA+tOB=(s+t)OC
如果s+t≠0,令α=s/(s+t) β=t/(s+t),有αOA+βOB=OC,且α+β=1
如果s+t=0,那么AC=BC,A,B重合,不符合题意(A,B,C是平面内三点).事实上,如果A,B重合,只要C不在直线OA上,命题都是不成立的.