Question

根号下X-3 + 根号下5-X 的值域是什么？（重点说方法）

Answer 1

解：这类题先求定义域，
X-3≥0,5-X≥0
解得3≤X≤5
然后求最大最小值
在区间[3,5]内√X-3单调递增，√5-X单调递减
X的系数相同，所以复合后在X=4时有最大值=2
最小值在区间端点为√2
所以值域为[√2,2]
只有x系数相同时才可以用以上方法，一般方法如下：
令y=√(X-3)+√(5-X)
y²=[√(X-3)+√(5-X)]²=2+2√[(X-3)(5-X)]=2+2√[-(x-4)²+1]
在区间[3,5]内，根号下的最小值为0，最大值为2
∴2≤y²≤4
∵y恒大于0
∴√2≤y≤2
值域为[√2,2]

Answer 2

三角代换
由于(√(x-3))^2+(√(5-x))^2=2
设√(x-3)=根号2*cosθ √(4-x)=根号2*sinθ θ∈[0,π/2]
y=√(x-3)+√(5-x)
=根号2[cosθ+sinθ]
=2[(根号2/2)cosθ+(根号2/2)sinθ]
=2sin(θ+π/4)
由0≤θ≤π/2
则π/4≤θ+π/4≤3π/4
根号2/2≤sin[θ+(π/4)]≤1
所以,根号2<=y<=2
所以所求函数的值域为[根号2,2]

Answer 3

平方后 2+2*根号(x-3)(5-x)

将根号下的部分写成顶点式
2+2*根号(-(x-4)^2+1)

可求得值域 [2,4]

原式值域【根号2，2】

Answer 4

先求出定义域3《x《5然后平方得到2+2根号下（x-3）（5-x），求值域后在开放就可。2+2根号下1-（x-4）的平方。最大值为2，最小值为根号2。