Question

为什么?在级数中去掉/加上/改变前面有限项的值,不会改变级数的敛散性?

去掉我可以理解,可是加上或改变不太好理解
可以想象到,改变之后级数在某一项之后,肯定是趋向性和之前仍然一样
可是级数收敛的定义是 lim Sn = S 就是 Sn越来越接近S
如果我随意修改前面几项的值, 比如最前面几项改为 2 -1 4 -3 -8 2 ...
则前面几个Sn 依次为 2 1 5 2 -6 -4 ...
此阶段Sn并没有随着n的增大向一个常数逐渐逼近, lim Sn不是应该是发散的吗 ??

Answer 1

你改掉有限项之后，还会有无限项趋向于S。

一个数列的趋势是无法通过改变有限项来改变的。

就好像：

1 1/2 1/4 1/8 1/16 ... 1/4096... 1/1048576。

你改掉前面有限项，数列变成：

2 -1 4 -3 -8 2 ... 1/4096... 1/1048576 ...此时仍然趋向于0，你改不了这个趋势。

无穷级数

无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。

用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。

Answer 2

你改掉有限项之后，还会有无限项趋向于S。
一个数列的趋势是无法通过改变有限项来改变的。

就好像
1 1/2 1/4 1/8 1/16 ... 1/4096... 1/1048576 ...
你改掉前面有限项,数列变成
2 -1 4 -3 -8 2 ... 1/4096... 1/1048576 ... 此时仍然趋向于0.你改不了这个趋势。

追问

是的 我改变不了趋势 可是lim Sn不对了啊
lim Sn = S 不是指 从第一项和开始就是向S接近么 ?

追答

不是。极限只看趋势。别的不看。