Question

线性代数，行列式证明，第八题，解答过程

Answer 1

解：设该行列式为D，则2^nD=det
2a11-1 2a12 …………2a1n
2a21 2a22-1…………2a2n
………………………………
2an1 2an2……………2ann-1
由行列式定义可知，上面行列式奇数项只有一项即∏(1<=k<=n)(2akk-1)，其他项都是偶数，而奇数+偶数=奇数，所以2^nD≠0，故D≠0
证毕！

追问

赞

Answer 2

把1/2换成x，则行列式变成了x的n次多项式
x^n的系数为(-1)^n，常数项是x=0的值，是aij组成的行列式的值，为整数
所以此多项式的根只能是常数项的整因子
换言之，1/2不是此多项式的根
即题目中的行列式值不为0

追问

没明白

追答

用到的是如下定理：整系数多项式f(x)=anx^n+……+a1x+a0若有有理根x0=p/q，则|p|是|a0|的因子，|q|是|an|的因子。这里x^n的系数为(-1)^n，所以|q|=1，x0是整数

追问

有没有其他方法？

这知识点我们没学过

用行列式的

追答

感觉单用行列式性质应该很难解，因为aij只告诉是整数，那么这一共是n^2个不确定的数，行列式的行列变换无法使用。而且我在学高等代数的时候第一章是多项式，第二章才是行列式。

追问

我学的是线性代数

学长帮帮忙

追答

你可以不用那个定理直接去证。x=1/2时n次项分母为2^n，而其它项的分母虽然都是2的k次幂，但是k<n，所以和不是整数，也就不会等于0

Answer 3

追问

有没有其他方法？

这方法我们没学

用行列式的

追答

用行列式的定义理解吧。行列式按定义展开共有n!项。显然绝对值最小的一项是（-1/2)^n
因为aij为整数，故其余(n-1)!项都是整数乘以（1/2)^K (0<=k<n)
将这(n-1)!项提取公因子(1/2)^（n-1）,则这(n-1)!项的和必为(1/2)^(n-1)整数倍，其绝对值必大于(1/2)^(n-1）或为0.
故这两项相加必不为0.

追问

嗯，懂是懂了

怎么书写的老师知道

追答

就按上面写法也是可以的。

追问

嗯，好吧

追答

上面的“数学好玩啊123 ”的方法很好，你可以按他的方法去解答。