Question

求齐次线性方程组的一个基础解系，并求方程组的通解

2x1-3x2+x3+5x4=0
-3x1+x2+2x3-4x4=0
-x1-2x2+3x3+x4=0

Answer 1

系数矩阵 A=

[2 -3 1 5]

[-3 1 2 -4]

[-1 -2 3 1]

初等行变换为

[-1 -2 3 1]

[2 -3 1 5]

[-3 1 2 -4]

初等行变换为

[-1 -2 3 1]

[0 -7 7 7]

[0 7 -7 -7]

初等行变换为

[1 0 -1 1]

[0 1 -1 -1]

[0 0 0 0]

方程组同解变形为

x1=x3-x4,

x2=x3+x4

基础解系为 (1, 1, 1, 0)^T, (-1, 1, 0, 1)^T,

通解为 x= k1(1, 1, 1, 0)^T+k2(-1, 1, 0, 1)^T,

其中 k1，k2 为任意常数。

n元齐次线性方程组。

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

当r=n时，原方程组仅有零解；

当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

Answer 2

系数矩阵 A=
[2 -3 1 5]
[-3 1 2 -4]
[-1 -2 3 1]
初等行变换为
[-1 -2 3 1]
[2 -3 1 5]
[-3 1 2 -4]
初等行变换为
[-1 -2 3 1]
[0 -7 7 7]
[0 7 -7 -7]
初等行变换为
[1 0 -1 1]
[0 1 -1 -1]
[0 0 0 0]
方程组同解变形为
x1=x3-x4,
x2=x3+x4
基础解系为 (1, 1, 1, 0)^T, (-1, 1, 0, 1)^T,
通解为 x= k1(1, 1, 1, 0)^T+k2(-1, 1, 0, 1)^T,
其中 k1，k2 为任意常数。

Answer 3

写出增广矩阵为
1 1 1 1 2
1 2 2 1 4
2 1 1 4 β 第2行减去第1行，第3行减去第1行×2
～
1 1 1 1 2
0 1 1 0 2
0 -1 -1 2 β-4 第1行减去第2行，第3行加上第2行
～
1 0 0 1 0
0 1 1 0 2
0 0 0 2 β-2 第3行除以2，第1行减去第3行
～
1 0 0 0 1-β/2
0 1 1 0 2
0 0 0 1 β/2 -1
所以得到通解为c*(0,1,-1,0)^T +(1-β/2,2,0,β/2-1)^T，C为常数
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