Question

已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23

已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23．求证：（1）四边形EFGH是梯形；（2）FE和GH的交点在直线AC上．

Answer 1

证明：已知如下图所示：
（1）连接BD，
∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴EH∥BD
又∵

CF

CB

＝

CG

CD

＝

2

3

，∴FG∥BD
因此EH∥FG且EH≠FG
故四边形EFGH是梯形；（6分）
（2）由（1）知EF，HG相交，设EF∩HG=K
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴k∈平面ABC
同理K∈平面ACD，
又平面平面ABC∩平面ACD=AC
∴K∈AC
故FE和GH的交点在直线AC上．（12分）