Question

已知函数f(x)＝eaxx?1．（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单

已知函数f(x)＝eaxx?1．（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

当a=1时，f(x)＝

ex

x?1

，则f′(x)＝

ex(x?2)

(x?1)2

．
又f（0）=

e0

0?1

＝?1，f′(0)＝

e0(0?2)

(0?1)2

＝?2，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函数f(x)＝

eax

x?1

，得：f′(x)＝

eax[ax?(a+1)]

(x?1)2

．
当a=0时，f′(x)＝

?1

(x?1)2

＜0，
又函数的定义域为{x|x≠1}，
所以 f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，+∞）．
当a≠0时，令f^′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得x＝

a+1

a

，
当a＞0时，x＝

a+1

a

＞1，
所以f^′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x	（-∞，1）	1	(1， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，+∞)
f′（x）	-	无定义	-	0	+
f（x）	减函数		减函数	极小值	增函数

所以f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，

a+1

a

），
单调递增区间为(

a+1

a

，+∞)，
当a＜0时，x＝

a+1

a

＜1，
所以所以f^′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x	(?∞， a+1 a )	a+1 a	( a+1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	无定义	-
f（x）	增函数	极大值	减函数		减函数

所以f（x）的单调递增区间为