Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，
∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，
又∵M为PD的中点，
∴PB∥MO，
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）解：取DO中点N，连接MN，AN，
∵M为PD的中点，
∴MN∥PO，且MN=

1

2

PO=1，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，
在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=

1

2

，∠DAO=90°，∴DO=

5

2

，
∴AN=

1

2

DO＝

5

4

，
在Rt△ANM中，tan∠MAN=

MN

AN

=

1

5 4

=

4 5

5

，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为

4 5

5

．