Question

设函数f（u）具有二阶连续导数，而z=f（exsiny）满足方程?2z?x2+?2z?y2＝e2xz，求f（u）

设函数f（u）具有二阶连续导数，而z=f（exsiny）满足方程?2z?x2+?2z?y2＝e2xz，求f（u）．

Answer 1

设u=e^xsiny，则z=f（u）
∴zx＝f′(u)exsiny，zy＝f′(u)excosy
∴zxx＝f″(u)(exsiny)2+f′(u)exsiny
zyy＝f″(u)(excosy)2?f′(u)exsiny
代入方程

?2z

?x2

+

?2z

?y2

＝e2xz，得：
f″（u）（e^xsiny）缓缺²+f′（u）e^xsiny+f″（u）（e^xcosy）²-f'（u）铅绝e^xsiny=e^2xf（u）
即：
f″（u）=f（u）
这是二阶常系数齐次线性微分方程
其特征方程为：r²-1=0
解得两个特征根：r₁=1，r₂=-1
∴f(u)＝C1ex+C2e?x（其中C₁，C₂为任意槐哪姿常数）

Answer 2

简单计算一下即可，答首肢芹历案如者首世图所示