Question

正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N．

正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N．（1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM=EN；（2）如图2，若E点不与O点重合：①EM还等于EN吗？说明理由；②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，且∠OBC=∠OCD，∠BOC=90°，
∵∠FOG=90°，
∴∠BOM=∠BOC-∠MOC=90°-∠MOC，∠CON=∠FOG-∠MOC=90°-∠MOC，
∴∠BOM=∠CON，
在△OBM和△OCN中，

∠BOM＝∠CON OB＝OC ∠OBM＝∠OCN

，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴EM=EN；

（2）
过E作EH⊥BC，EG⊥CD，
由正方形ABCD可知，AC平分∠BCD，
∴EH=EG，
∵∠HEG=360°-∠EHC-∠EGC-∠HCG=90°，
∴∠MEH=∠NEG，而∠EHM=∠EGN=90°，
∴△EMH≌△ENG，
∴EM=EN；

（3）由△EMH≌△ENG可知，MH=NG，而EG=HC，
∴MC+NC=MH+HC+NC=NG+EG+NC=EG+CG=2CG，
∵CG=

2

2

EC，
∴MC+NC=

2

EC．
答：（1）EM=EN，（2）EM=EN，（3）MC+NC=

2

EC．