Question

已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ， 为其右焦点.（1）求椭圆 的方程； （2）设过点 的直线 与椭圆相

已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ， 为其右焦点.（1）求椭圆 的方程； （2）设过点 的直线 与椭圆相交于 、 两点（点 在 两点之间），若 与 的面积相等，试求直线 的方程.

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Answer 1

（1） ；（2） 。

试题分析：（1）因为 ，所以 ， .   设椭圆方程为 ，又点 在椭圆上,所以 ， 解得 ，    所以椭圆方程为 .   （2）易知直线 的斜率存在, 设 的方程为 ，  由 消去 整理，得 ，    由题意知 ， 解得 .  设 ， ，则 ， ①， . ②. 因为 与 的面积相等， 所以 ，所以 . ③ 由①③消去 得 . ④ 将 代入②得 . ⑤ 将④代入⑤ ， 整理化简得 ，解得 ，经检验成立.  所以直线 的方程为 . 点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆的综合应用，为圆锥曲线的常规题，应当掌握。考查了学生综合分析问题、解决问题的能力，知识的迁移能力以及运算能力。解题时要认真审题，仔细分析。