Question

已知函数f(x)＝lnx－ax 2 ＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a>0，证明：当0<x< 时，f >

已知函数f(x)＝lnx－ax 2 ＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a>0，证明：当0<x< 时，f >f ；(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x 0 ，证明： ＜0.

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Answer 1

（1）在 上单调递增，在 上是减函数（2）见解析（3）见解析

(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝ －2ax＋(2－a)＝－ . ①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ ，且当x∈ 时，f′(x)>0，当x> 时，f′(x)<0.所以f(x)在 上单调递增，在 上是减函数. (2)解：设函数g(x)＝f －f ， 则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax， g′(x)＝ －2a＝ . 当0<x< 时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x< 时，f >f . (3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点， 故a>0，从而f(x)的最大值为f ，且f >0. 不妨设A(x 1 ，0)，B(x 2 ，0)，0<x 1 <x 2 ，则0<x 1 < <x 2 . 由(2)得f ＝f >f(x 1 )＝0. 从而x 2 > －x 1 ，于是x 0 ＝ > .由(1)知，f′(x 0 )<0