Question

已知函数f（x）=1-5x?a5x+1，x∈（b-3，2b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）是区间（b-3，

已知函数f（x）=1-5x?a5x+1，x∈（b-3，2b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）是区间（b-3，2b）上的减函数；（3）若f（m-1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

解答：（1）解：∵函数f(x)＝1?

a?5x

5x+1

，x∈（b-3，2b）是奇函数，
∴f(0)＝1?

a

2

＝0，且b-3+2b=0，
即a=2，b=1．
（2）证明：由（ I）得f(x)＝1?

2?5x

5x+1

＝

1?5x

5x+1

，x∈（-2，2），
设任意 x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，
∴f(x1)?f(x2)＝

1?5x1

5x1+1

?

1?5x2

5x2+1

＝

2(5x2?5x1)

(5x1+1)(5x2+1)

，
∵x₁＜x₂∴5x1＜5x2∴5x2?5x1＞0
又∵5x1+1＞0，5x2+1＞0
∴

2(5x2?5x1)

(5x1+1)(5x2+1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是区间（-2，2）上的减函数．
（3）解：∵f（m-1）+f（2m+1）＞0，
∴f（m-1）＞-f（2m+1）
∵f（x）奇函数∴f（m-1）＞f（-2m-1）
∵f（x）是区间（-2，2）上的减函数
∴

m?1＜?2m?1 ?2＜m?1＜2 ?2＜2m+1＜2

即有

m＜0 ?1＜m＜3 ? 3 2 ＜m＜ 1 2

∴-1＜m＜0，
则实数m的取值范围是（-1，0）．