Question

考研，高等数学，积分问题，图中画线部分如何得到的？如何令tanx=t就可以求出后面的代换式了？后面

考研，高等数学，积分问题，图中画线部分如何得到的？如何令tanx=t就可以求出后面的代换式了？后面怎么积分会的，但是怎么得到这个式子不太懂

Answer 1

解：
∵tanx=t,
∴sinx = 2t/(1+t^2)
dx = dt/(1+t^2)
∴∫(0,π/2) (sinx)^2/[1+(sinx)^2]
=∫(0,+∞) t^2/[2(t^2)+1]·[(t^2) +1] dt
注意到：
t^2 = [2(t^2)+1] - [(t^2) +1]
因此：
原积分=∫(0,+∞) {[2(t^2)+1]-[(t^2) +1]}/[2(t^2)+1]·[(t^2) +1] dt
=∫(0,+∞) [2(t^2)+1]/[2(t^2)+1]·[(t^2) +1]dt -
∫(0,+∞) [(t^2) +1]/[2(t^2)+1]·[(t^2) +1]dt
=∫(0,+∞) 1/[(t^2) +1]dt - ∫(0,+∞) 1/[2(t^2)+1]dt
=arctant |(0,+∞) - (1/√2)∫(0,+∞) 1/[(√2t)^2+1]d(√2t)
=[arctant - (1/√2)· arctan√2t ]|(0,+∞)
=[1-(1/√2)]π

追问

为什么令tanx=t就有下面呢，sinx=2t/1+t^2，这个万能公式是tanx/2=t吧

Answer 2

上下同时除以cosx的平方

追答

追问

他那个是（2t^2+1）呀，我自己也化过sec^2x，然后就是变不成2t^2+1，后面一个t^2+1是dx变dt乘的呀

追答

两个(tanx)^2