Question

求一道高一数学题的解题过程

设f（x）是定义在R上的函数。
(1)若存在x1，x2∈R，x1<x2，使f(f(x1)<f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；
（2）若存在x1，x2∈R，x1<x2，使f(x1)≤f(x2）成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减；
(3)若存在x2>0，对于任意x1∈R，都有f(x1)<f(x1+x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；
(4)对任意x1，x2∈R，x1<x2，都有f(x1)≥f(x2）成立，则函数f(x)在R上单调递减；
请分别判断以上命题的正误，并写出详细的过程。一定要有过程！

Answer 1

在R上单调递增 是对任意的x1，x2∈R，x1<x2，使f(f(x1)<f(x2)成立 而不是存在 反例 x^2
所以(1)错
存在x1，x2∈R，x1<x2，使f(x1)≤f(x2）成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减 如果是单调递减 就不会存在x1，x2∈R，x1<x2，使f(x1)≤f(x2）成立
（2）对
x2>0，对于任意x1∈R，都有f(x1)<f(x1+x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增 相当于对任意的x1，x2∈R，x1<x2，使f(f(x1)<f(x2)成立
(3)对
若存在x1<x2 f(x1)=f(x2）与f(x)在R上单调递减的定义矛盾
（4）错