Question

关于连续小波变换的几个问题，求教

1.MATLAB中连续小波变换cwt结果是指a和b都连续变化后的小波系数，wavedec是离散小波变换，是mallat算法后的近似和细节部分小波系数。mallat算法中a是2的幂次方变化，b不是连续变化。因此，cwt中2/4/8/16/32结果应该不是对应wavedec中的1/2/3/4/5尺度吧？（因为b一个是连续，一个是不连续的）

2.MATLAB实现过程，wavedec是通过mallat计算过程实现的么？跟滤波器有什么关系？（刚接触小波没多久，没有看过从滤波器角度分析小波的资料，见谅） cwt是通过卷积实现的？

3.离散小波的系数可以通过wrcoef对某一层进行重构。重构过程是通过插值实现的么？低频部分系数与重构后的波形大体近似，高频部分重构出来波形差别较大，（低频是近似，高频是细节，那么低频和高频重构过程不一样么？）cwt一般不讲重构，那么cwt变换后的系数特征说明了什么？（我的意思是如果cwt的系数为周期信号（非标准周期），那么是不是可以认为原信号中含有这一周期信号频率的信息？有没有相关的理论相关的资料可以学习一下？） 我采用的是sym8小波，cwt分解scale在500左右，如果想要重构的话，应该怎么实现呢？
另外，离散小波系数低频是不是指尺度函数的系数，高频是小波函数的系数？

Answer 1

1. 首先应明白连续或不连续多指数学的概念而已，应用中的信号都是离散的，只是你的采样足够高就可认为是连续的，所以小波变换中关心的是点数问题，而不关心信号是否连续。对于CWT或DWT其连续与否不是指分析信号，而是你说的a或b的问题，但你仍可以借鉴上面对于信号连续的理解。CWT中a是连续的，b其实就是点数，也可认为是连续的。最早的DWT是没有mallat算法的，那时a是以2的幂次方变化离散，b却是连续变化的，即二进小波变换。这种变换很鸡肋，还不如直接做CWT。DWT的应用之所以远远多于CWT就是引入了mallat算法，好处是终于可以分解和重构信号了，这种方式对信号特征的研究非常有利。DWT的核心思想其实就是CWT引出的伸缩和平移的概念，a以2的幂次方变化实现了小波的伸缩，b通过下抽样实现了小波的平移。从实际应用中进行小波变换的目的和效果来看，cwt中2/4/8/16/32的小波系数结果应该对应DWT中的阶次（层数）1/2/3/4/5的小波细节系数（或更准确的是重构后的小波细节，因为cwt的系数个数是不变的等于原信号长度，但DWT细节系数是每层近似减半的，重构后才会等长，b也是姑且认为是减半的不连续吧）。

   再追问吧，第二问题可能更多，我尽量精简。哎，干嘛要把问题写在一起，这就是麻烦啊，你必须追问我才能再写！

追问

首先非常感谢您！
从实际应用中进行小波变换的目的和效果来看，cwt中2/4/8/16/32的小波系数结果应该对应DWT中的阶次（层数）1/2/3/4/5的小波细节系数。 那么为什么我对信号采用cwt处理（scale(1:512)）后的256层系数与wavedec分解后第8层高频系数重构后的结果不一样呢？

追答

先回答追问，我的回答前提已经明确表达了“对应”一词，可没说一样。DWT相应阶次的细节与CWT的结果是对应的，这主要用于研究信号的奇异性的，在这一点上DWT细节可能还可提供其它的更多信息，从CWT和DWT的实现理论算法上二者是毫不相同的，意义上也有所区别，但都可用于奇异性研究，所以肯定不同。另外，实际应用中CWT一般到尺度64已经非常了不得了，再高的尺度会有吉布斯效应的影响，你会很难分辨，也会有很多假象产生。一般奇异性研究为定位准确和易于分辨，尺度16左右已经比较合适了，如果你看到文献中有超过尺度100的情况，那要么信号的点数很多，要么作者就是一棒槌外行。再追吧！

追问

哦哦，都快凌晨2点了还在回答我的问题，真的是太感谢啦！
第二个问题，MATLAB实现过程，wavedec是通过mallat计算过程实现的，跟滤波器有什么关系？另外，mallat算法跟‘scale和shift都离散成是2的幂次方’的离散小波有区别么？（我看一篇文章里讲到haar小波的mallat算法好像就是把‘scale和shift都离散成是2的幂次方’，其他小波的mallat算法不是这样的吗？）

追答

2.可先参看http://zhidao.baidu.com/question/754358507298535324.html?from=pubpage&msgtype=2 。由于正交函数的引入，提出了尺度函数的概念，表明小波函数可由尺度函数伸缩和平移的线性组合表述，从而推出著名的二尺度方程，将原始待分析信号也当作某阶的逼近（从逼近的理论意义上是完全可以理解和接受地），则可将二尺度方程引申，发现其频域表达式就可用高低通滤波器来实现DWT的计算。即当今DWT的应用计算都是靠滤波器来完成的，所以很多难以构造尺度函数的小波函数只能用在CWT上，没尺度函数我们就没法构造滤波器了，也就不能计算DWT了。进行一个完整的DWT需要构造一个滤波器组，通常是4个滤波器，即分解高、低通滤波器和重构高、低通滤波器。通常由尺度函数构造低通尺度滤波器然后构造高通（带通）小波滤波器然后推出小波函数，这是很复杂的问题，可以参考某些资料，但对你可能太深了些。所以目前的DWT就是在玩滤波器，只有滤波器才能计算实现DWT的mallat算法。CWT中用的是积分，虽然计算上也用卷积，但和滤波器无关，只是将卷积当作了一种运算法则而已，DWT的滤波器卷积才是正宗的滤波器理论。所有通常的的DWT都是二进制的（多进制的小波除外），都是以2的幂次方变化的。请续追！

追问

感谢！
第3个问题，如题。感谢！

追答

你的第三个问题中错误理解太多，这里的篇幅都没法一一指出了，没法简单的回答，还是基础差了些，随便回答又怕造成你的误解，所以还是请再看些资料先自己理一理再问吧！抱歉