Question

抽象代数问题，子群的乘积还是子群的充要条件证明？

设H1,H2是G的子群，证明H1H2是G的子群的充要条件是H1H2=H2H1,其中
H1H2={h1h2|h1∈H1,h2∈H2}
H2H1={h2h1|h2∈H2,h1∈H1}
证明：必要性
H1H2是G的子群，那么对于任意
h1h2∈H1H2 <=>(h1h2)^-1∈H1H2<=> h2^-1 h1^-1∈H1H2<=>h2^-1∈H1,h1^-1∈H2<=>h2∈H1,h1∈H2<=>h1h2∈H2H1(H1,H2是G的子群)那么H1H2=H2H1
/*老师，我觉得这里的证明有缺陷，因为上述的推理只能说明H1H2包含于H2H1，并不能直接得出H1H2=H2H1？反方向的H2H1包含于H1H2该如何证明呢？

Answer 1

首先，你的理解有点问题
假定“那么H1H2=H2H1”那句话之前的所有推理都是正确的，那么略去中间步骤，实际上证明的思路是h1h2∈H1H2 <=> h1h2∈H2H1，这一等价性既说明H1H2包含于H2H1，反过来也说明H2H1包含于H1H2

不过，这个证明确实是有缺陷的，毛病在具体推理步骤里，而不在于整体的逻辑结构
h2^-1 h1^-1∈H1H2<=>h2^-1∈H1,h1^-1∈H2
以及
h2∈H1,h1∈H2<=>h1h2∈H2H1
这两步都是错的，前者只有<=方向成立，后者只有=>方向成立
（考虑反例H1=G是整数加法群，H2是偶数加法群，h1=1, h2=0，不可能证明出h1∈H2）

应该说证明的思路大体仍然有可取之处，错误可能是由于为了写得简洁一些而疏忽大意造成的（当然，也可能是根本没想清楚乱写）
合理的做法需要分开写，确实会出现你所说的包含关系一个方向比另一个方向略难一些的情况，但是哪个方向更难主要取决于你的思路卡在哪里，而不是客观上的难度差异
下面是一种做法

任取h1∈H1, h2∈H2
一方面，由于h1=h1e∈H1H2, 而H1H2对乘法和求逆封闭，所以h2h1=h1^{-1}(h1h2)h1∈H1H2，由h1和h2的任意性可知H2H1包含于H1H2
另一方面，注意到(h1h2)^{-1}∈H1H2，所以存在g1∈H1, g2∈H2, 使得(h1h2)^{-1}=g1g2, 从而h1h2=g2^{-1}g1^{-1}∈H2H1，这样就得到H1H2包含于H2H1