Question

求运动方程

物体沿半径为R的圆周以角速度w匀速转动，一人从圆心出发以速度v，方向时刻对准小球，奔跑，求人的运动轨迹。
看仔细了，是v人的方向对准备小球，像导弹对准目标那样。是我出的题目。

Answer 1

人坐标：Xh=ρcosθ,Yh=ρsinθ

物坐标：Xo=Rcosωt,Yo=Rsinωt

速度方向：(Xo-Xh,Yo-Yh)

速度方向和人的位矢的夹角为α,令ωt-θ=β

，这样运动方程为：

  dρ/dt=vcosα;

ρdβ/dt=ρω-vsinα.

Rsin(α-β)=ρsinα.

这个方程的解析解一时我还没找到，不过数值解很容易。

下面给出R=1,v=1,ω=0.8,1,2,5的轨迹，其中细线是人的轨迹，粗线是物的轨迹。 

v=Rω是个分界点，v>Rω,人可以追上物，v<=Rω人追不上物。 

易发现，v<=Rω,最终和物一起以角速度ω做匀速圆周运动，落后的角度为acrcosv/(Rω)。

Answer 2

以a点为参照系，vb=v，速度方向向左，做圆周运动。因为a点相对于地面，va=v，方向向右，由此可知道，b点是圆周运动和匀速直线运动的复合，经过t时间以后横坐标x=-lsin(vt/l)+vt,纵坐标y=lcos(vt/l)（参数方程）,轨迹方程为(x-vt)^2+y^2=l^2(建议用参数方程)

Answer 3

这就是一个阿基米德螺线的原始定义，人的轨迹用极坐标表示就是：
ρ=aφ=vφ/w

Answer 4

设：以地面为参考系，则：
画一个直角坐标系，速度V在X的位移为：tV×cosα=X ①
速度V在Y的位移为：tV×sinα=Y. ②
所以由①②得：人的运动轨迹为xtanα=y.
∵α是随着t变化的，
∴要把α用①和ω代替，即：
α=ωt／(vcosx)=ωx／（v·cos²α）
∴xtan(ωt／(ωx／（v·cos²α）)=y

Answer 5

匀速直线运动和匀速圆周运动的和运动，是平面螺旋线。