Question

高中数学 求高手解答 请详细些！谢谢

已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a是正常数),且函数f(x)与g(x)的图像在Y轴上的截距相等.
求函数f(x)+g(x)的单调递增区间.

Answer 1

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Answer 2

函数f(x)的图像在Y轴上的截距为f(0)=|0-a|=a,g(x)的图像在Y轴上的截距g(0)=1;因为俩者相等.因此a=1。
∴f(x)+g(x))=|x-1|+x²+2x+1当x≥1时,f(x)+g(x)=x²+3x 是开口向上，对称轴为x=-3/2的抛物线的一部分∴此时f(x)+g(x)的单调递增区间为[1，+∝）;当x≤1时,f(x)+g(x)=-x+1+x²+2x+1=x²+x+2是开口向上，对称轴为x=-1/2的抛物线的一部分，∴此时单调递增区间为[-1/2，1]。∴f(x)+g(x)的单调递增区间[-1/2，+∝）

Answer 3

首先，图像在Y轴上的截距就是x=0时y的绝对值，所以由“在Y轴上的截距相等”可以解出a=1 (因为a是正常数)所以

f（x）图像是个V字形，对称轴是x=1处
g（x）是个对称轴在x=-1的开口向上的抛物线

f（x）、g（x）在x≤-1时都是单调递减函数 所以f（x）+g（x）也是单调递减
在x≥1时都是单调递增，所以f（x）+g（x）也是单调递增
在-1<x<1区间 f（x）=1-x
f(x)+g(x)=x^2+x+2 是个对称轴在 x=-1/2的开口向上的抛物线
所以-1/2≤x<1时也是单调递增的，

所以整个单调递增区间是[-1/2,+∞）

Answer 4

易知a=1;
令h(x)=f(x)+g(x)=|x-1|+x^2+2x+1=|x-1|+(x+1)^2
当x>=1时；f(x),g(x)均为递增函数，所以h(x)在此区间上递增
当x<1时，h(x)=1-x+x^2+2x+1=x^2+x+2=(x+1/2)^2+7/4;易知h(x)在[-1/2,1)递增。
综上可得：h(x)的单调递增区间为[-1/2,infinite)