Question

数学题2.

1．若存在X1，X2属于R，X1＜X2，使f(X1)小于等于f(X2）成立，则函数f(x)再R上不可能单调递减
2．若存在X2＞0，对于任意X1属于R，都有f(X1)＜f(X1＋X2）成立，则函数再R上单调递增。
给我说说这两个命题正确吗》？？为什么？？
x2>x1+x2，有这种可能吗》？我找了很多数试了试，全都是“存在X2＞0，对于任意X1属于R，都有f(X1)＜f(X1＋X2）成立，函数再R上单调递增”

Answer 1

证明题吗？
1、若F(X)是单调递减的，在：x1<x2 时，则应当有：f(x1)>f(x2),显然矛盾，所以，F(X)在R上不可能是递减的。命题正确。
2、若 x2<x1+x2 时，函数是递增的 在x2>x1+x2时，函数是递减的（这个看下函数单调性的定义就明白）。 所以F(X)在R上不具有单调性（只在某个区间上有，仔细看下函数单调性的定义，里面说了，单调性必须指明区间，就是这个意思了），命题是错误的。

给你举个例子： x2=5 x1=3 x2<x1+x2 此时，f(x2)<f(x1+x2)是增的；x2=5 x1=-3 x2>x1+x2 此时f(x2)<f(x1+x2)是减的。所以在整个R区间不具有单调性。

另外，这个命题有点矛盾,看好了：任意x1,x2>0,恒有：0<x2<x1+x2, f(x2)<f(x2+x1),则函数在x>0时为增函数。即,比如：5>2 则f(5)>f(2)恒成立。但是，由命题，可推出：x2=5,x1=-3,x2=5>x1+x2=2, f(x2)=f(5)<f(x1+x2)=f(2)。所以，这不是结论的问题了，而是题干出问题了，建议出题老师斟酌一下。

Answer 2

1.如果单调递减指的是严格递减，则这个命题正确。
【但如果单调递减指的是不单调增，则命题错误。
比如常值函数既是单调递减也是单调递增的】

2.这个命题错误。
比如f(X)=sin(X)不单调,可以取X2=2Pi,对于任意X1
f(X1+X2)=sin(X1+2Pi)=sin(X1)=f(X1)
可见再稍微修改一些f(X)就可以满足f(X1+X2)>f(X1)
比如定义
f(X)=sin(X)+K, 其中K*Pi<=X<(K+2)*Pi,
仔细研究就知道f(X)不单调，但对于X2=2Pi总有
f(X1)<f(X1+X2)

Answer 3

命题1与函数单调性定义相违背，函数单调递减定义为：若存在X1<X2,则f(X1)大于f(X2)
由于命题2中已有任意X1,保证了函数单调递增的连续性。