Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）求证：MN=AM+BN

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）求证：MN=AM+BN。

Answer 1

由题知，∠ACB=∠AMN=∠BNM=90°，
故∠MCA+∠NCB=90
又∠ MAC+∠CAB+∠CBA+∠CBN=180°，
故∠MAC+∠CBN=90
因AC=CB
故△MAC≌△NCB
故MC=BN,AM=CN
MN=MC+CN=AM+BN

Answer 2

证明：∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴∠AMC=∠CMB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
又∵∠MCA+∠BCN=90°
∴∠MAC=∠BCN
又∠AMC=∠CMB，AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN，MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN

Answer 3

由题知，∠ACB=∠AMN=∠BNM=90°，
故∠MCA+∠NCB=90
又∠ MAC+∠CAB+∠CBA+∠CBN=180°，
故∠MAC+∠CBN=90
因AC=CB
故△MAC≌△NCB
故MC=BN,AM=CN
MN=MC+CN=AM+BN

Answer 4

证明：
延长AM、BC交于D点，
三角形ACD是直角三角形
因为CM垂直于AD，
所以角DCM＝角MAC
又角NCB＝角DCM（对顶）
所以角MAC＝角NCB
又角AMC=角CNB＝90度
AC=BC
所以三角形AMC全等于三角形NCB
所以MN=MC+CN=BN+AM