Question

如何用R软件或excel来求矩阵的特征值和特征向量丫，跪求大神~

Answer 1

用Excel求解矩阵特征值与特征向量，可以按以下方法办理：
1、求矩阵的特征值和特征向量是一个既基础又重要的数值计算问题。通常我们可以用编写高级语言程序的方法加以解决，也可以使用专门的数学软件（如MATLAB等）来实现。本文给出的用Excel实现求矩阵的特征值和特征向量的方法，既不需要设计程序，也不需要专门的数学软件，只须在Excel中进行简单操作，就可以快速、直观地得到实矩阵的特征值和特征向量，且计算结果具有较高的精度。
2、在Excel中利用数组公式和数组常量建立并命名矩阵：
在Excel中，可以在一个单元格区域内通过逐个输入矩阵的各个元素来建立矩阵，还可以使用数组公式和数组常量更加方便地建立矩阵[1]。例如，可以通过下列操作建立矩阵：
(1) 在Excel的工作表Sheet1中，选择单元格区域A1:D4；
(2) 输入公式：={2,-1,0,0;-1,2,-1,0;0,-1,2,-1;0,0,-1,2}(顺便指出：在Excel的数组公式中，将矩阵元素用大括号{}括起来称为数组常量，其中不同列的元素用逗号隔开，不同行的元素用分号隔开；
(3) 按Ctrl+Shift+Enter键，结束数组公式的输入，形成矩阵。
建立了矩阵之后，在Excel的数组公式中，就可以用矩阵所在的单元格区域A1:D4表示该矩阵；但若将该矩阵命名为A显然更便于使用，也便于理解公式的含义，方法如下：
选择该矩阵所在的单元格区域A1:D4；单击编辑栏左端的“名称”框，输入A，按回车键确认。此后，在当前工作薄的所有工作表中，就可以使用名称A在数组公式中代表该矩阵。尤其需要指出的是：通过对矩阵命名，不仅能方便地实现跨工作表引用单元格区域，而且更重要的是：在复制公式时，Excel将名称（如A）按常量对待，所以更便于矩阵的运算和使用。类似地，我们还可以在单元格区域F1:I4中通过输入数组公式：{={1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,1,0; 0,0,0,1}}建立4阶单位矩阵，并命名为I。
3、利用Excel求矩阵的特征值：
由于矩阵A的特征值λ就是特征方程det(A-λI)的根，因此可以利用Excel工具菜单中的“单变量求解”命令求矩阵的特征值。
例如，上述矩阵A在0.4附近的特征值的求解方法如下：
(1) 在A6单元格中输入值0.4；
(2) 在B6单元格中输入公式：=MDETERM(A-A6*I)＝0，其中MDETERM为Excel提供的求矩阵行列式的函数；
(3) 按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式：{=MDETERM(A-A6*I)}，于是B6单元格中的值0.1264即为特征多项式在 的值；
(4) 单击“工具”菜单中的“单变量求解”命令，打开“单变量求解”对话框；
(5) 在“目标单元格（E）”中输入或选择B6，在“目标值（V）”中输入0，在“可变单元格（C）”中输入或选择A6；
(6) 单击“确定”按钮。
此时，A6单元格中的值0.381966011就是矩阵A在0.4附近特征值的近似值（顺便指出：在Excel“选项”对话框的“重新计算”选项卡中，通过设置“迭代计算”栏还可控制计算精度）。
4、求特征值对应的特征向量：
所谓逆幂法，就是取A的特征值λi的一个近似值λ，并取非零初始向量X0，按迭代公式： （其中符号‖·‖∞代表向量的按模最大分量，即） 进行迭代，当相邻两次迭代，Xk-1，Xk近似成比例时，则Xk即为矩阵A对应于特征值λi的近似特征向量。
例如，为求上例矩阵A的特征值λ=0.381966011对应的特征向量，我们取近似特征值为0.38，并取初始向量为（1,1,1,1），使用逆幂法进行迭代可以在Excel中进行如下操作：
(1) 在工作表Sheet2中，先在单元格区域A1:A4中输入1,1,1,1形成初始向量X0；
(2) 选择单元格区域B1:B4，输入公式：=MMULT(MINVERSE(A-0.38*I), A1:A4)，按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出Y1 (注：其中MINVERSE, MMULT分别为Excel提供的计算逆矩阵和计算两个矩阵乘积的函数)；
(3) 在B5单元格中输入公式：=MAX(ABS(B1:B4))，按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出‖Y1‖∞；
(4) 选择单元格区域C1:C4，输入公式：=B1:B4/B5，按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出逆幂法迭代一次后的向量X1=(0.618321,1,1,0.618321)；
(5) 选择B1:C5单元格区域，向右拖动C5右下角的填充柄，即得逆幂法的迭代序列：
逆幂法迭代3次，可得A的对应于近似特征值λ=0.381966011的近似特征向量为(0.618033989,1,1,0.618033989)。若与A的相应精确特征值λ=2-2cos(π/5)=0.3819660112…和特征向量(sin(π/5)/sin(2π/5),1,1,sin(π/5)/sin(2π/5))=(0.6180339887…,1,1,0.6180339887…)相比较，显然已具有较高的精度。

Answer 2

在R中，函数eigen(Sm) 用来计算矩阵Sm 的特征值和特征向量

追问

真的非常感谢，麻烦再问下在R里特征向量归一化的函数是什么来着~

追答

自己搞个小函数吧‘，我不清楚R有没直接的函数
normalit<-function(m){
return (m - min(m))/(max(m)-min(m))
}

这里m就是你的向量