Question

第五题幂级数 帮忙看看我的收敛域求得对不对？如果写错了麻烦写一下正确的过程。还有和函数求解。

第五题幂级数
帮忙看看我的收敛域求得对不对？如果写错了麻烦写一下正确的过程。还有和函数求解。大佬们看看，幂级数的和函数求解一般用的都是等比级数的求和公式，然后积分或者求导来回倒腾吧？

Answer 1

解：前面的求解过程和结果都是正确的。设S(x)=∑[(-1)^n]n(x^n)/(n+1)。
当x≠0时，有xS(x)=∑[(-1)^n]n[x^(n+1)]/(n+1)。两边对x求导，有[xS(x)]'=∑[(-1)^n]nx^n=x∑[(-1)^n]nx^(n-1)=x{∑[(-1)^n]x^n}'。
而，在收敛域内，∑[(-1)^n]x^n=-x/(1+x)，∴[xS(x)]'=x[-x/(1+x)]'。两边从0到x积分，有xS(x)=x/(x+1)-ln(1+x)。∴S(x)=1/(1+x)-(1/x)ln(1+x)。
当x=0时，S(x)=0、且lim(x→0)[1/(1+x)-(1/x)ln(1+x)]=0，∴和函数S(x)=1/(1+x)-(1/x)ln(1+x)，其中，丨x丨<1。供参考。

追问

嗯嗯，谢谢!

有一个问题

然后这边还有一个高数方面的提问，你可以帮忙看看吗？

今天陆续会提一些高数方面的问题，如果您有时间可以帮我看看，分数都好办

追答

需要注意的是n的起始值问题。n=0时，首项是常数；n=1时，首项就不一样了。前个提问中n=1，后面的图片中n=o、其值为1/(1+x)；如果n=1，则为-x/(1+x)了。供参考。另外，如有问题需要帮忙，可以发链接给我，期望有帮助。

追问

好，谢谢!

您有空帮忙看看这道题

形心坐标的这道题