Question

求证1+1/2+1/3+...+1/(2^n-1) <n (n≥2，n∈N*)

谢谢 问下第一步是什么意思啊 后边能看懂 第一步n=2时左边不是应该=1+1/2+1/3?

Answer 1

数学归纳法
i） n ＝ 2时
左边＝1+1/2=1.5<2=右边 成立
ii）设n＝k时不等式成立，
即1+1/2+……+1/(2^k-1)<k成立………………（1）
当n＝k+1时
左边＝1+1/2+……+1/(2^k-1) + 1/2^k + …… + 1/(2^(k+1)-1)
与（1）式连立，则得到左边 < k + 1/2^k + …… + 1/(2^(k+1)-1)……(2)
后面一共是2^(k+1)-2^k项，将分母缩小至2^k,则式子（2）严格小于
k + 1/2^k + …… + 1/2^k = k + (2^(k+1) - 2^k)/2^k=k+1=右边
由此得出左边<右边，不等式成立
由i）、ii） 1+1/2+1/3+...+1/(2^n-1) <n (n≥2，n∈N*)