求极限 如图所示
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先求(1+x)^(1/x) 的导数：
令y=(1+x)^(1/x)
先两边取对数
lny=ln(1+x)/x
求导：
y'/y=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
则y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2 *(1+x)^(1/x)
针对对本题，属于0/0型，使用罗比塔法则，上下求导
=lim{[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2 *(1+x)^(1/x) }/1
而lim(1+x)^(1/x) =e
对lim[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=lim[x-(x+1)ln(1+x)]/[x^2(1+x)]
仍属于0/0型，使用罗比塔法则
=lim[1-ln(1+x)-1]/[2x(1+x)+x^2]
仍然属于0/0型，继续罗比塔法则
=lim[-1/(1+x)]/[2(1+x)+4x]
带入x=0
则=lim-1/2
=-1/2
所以原式=-e/2
令y=(1+x)^(1/x)
先两边取对数
lny=ln(1+x)/x
求导：
y'/y=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
则y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2 *(1+x)^(1/x)
针对对本题，属于0/0型，使用罗比塔法则，上下求导
=lim{[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2 *(1+x)^(1/x) }/1
而lim(1+x)^(1/x) =e
对lim[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=lim[x-(x+1)ln(1+x)]/[x^2(1+x)]
仍属于0/0型，使用罗比塔法则
=lim[1-ln(1+x)-1]/[2x(1+x)+x^2]
仍然属于0/0型，继续罗比塔法则
=lim[-1/(1+x)]/[2(1+x)+4x]
带入x=0
则=lim-1/2
=-1/2
所以原式=-e/2
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
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