Question

高等数学求帮忙

12题，其他都懂，就是代入方程并整理这个，我整理不出来，这么长的式子，而且x和t都在里面，我应该怎么处理？

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Answer 1

x=arctant
tanx=t=sinx/cosx
sin²x/cos²x=t²
sin²x+cos²x=1，所以cos²x=1/(1+t²)，sin²x=t²/(1+t²) ①
sin2x=2tanx/(1+tan²x)=2t/(1+t²) ②
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(dy/dt)/[1/(1+t²)]=(1+t²)dy/dt ③
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
=d[(1+t²)dy/dt]/dx
=[(1+t²)d²y/dt²+2tdy/dt]dt/[1/(1+t²) dt]
=(1+t²)²d²y/dt²+2t(1+t²)dy/dt ④
将①②③④全部代入原式得
1/(1+t²)² [(1+t²)²d²y/dt²+2t(1+t²)dy/dt]+1/(1+t²)[2-2t/(1+t²)](1+t²)dy/dt+y=t
d²y/dt²+2t/(1+t²) dy/dt+2dy/dt-2t/(1+t²) dy/dt+y=t

d²y/dt²+2dy/dt+y=t ⑤
特征方程r²+2r+1=0有二重根r1=r2=-1
所以齐次方程d²y/dt²+2dy/dt+y=0的通解为
y=(C1+C2 t)e^(-t)
⑤式可写成 d²y/dt²+2dy/dt+y=te^(αx) α=0
由于α=0不是特征方程r²+2r+1=0的根
所以方程具有形如y=a0+a1 t 的特解
dy/dt=a1，d²y/dt²=0 代入⑤
得2a1+a0+a1 t=t 对任意t等式恒成立
所以a1=1，2a1+a0=0 得a0=-2a1=-2
所以方程具有y=t-2的特解
所以方程(⑤式)的通解为y=(C1+C2 t)e^(-t) +t-2
由于t=tanx
所以原方程的通解为y=(C1+C2 tanx)e^(-tanx) +tanx-2

追问

太厉害了吧

追答

这题就是计算量大一点

Answer 2

不难，慢慢整理即可