Question

级数证明题求高手指点

第五题

Answer 1

第7题，级数是收敛的。证明如下:因为正项数列{an}是单调减少数列，而正项数列an≧0,自然有下界，根据单调有界原理，单调减少有下界的数列收敛，即an有极限，设极限是a,则a≧0.如果a=0,又an单调减少，根据交错级数的莱布尼兹判别法，交错级数Σ(–1)^n·an收敛，与条件矛盾!所以a＞0,并且an≧a,n=1,2···。所以1/1+an≦1/1+a,(1/1+an)^n≦(1/1+a)^n,级数Σ(1/1+a)^n是正项等比级数，公比是1/1+a,0<1/1+a<1,所以等比级数收敛，再由正项级数的比较判别法，原级数收敛。

Answer 2

第一问用拉格朗日，用n-1次，可以构造出一个收敛的几何级数，比较判别法即可。
第二问根据导数条件，积分估计f(x)，得到一个不等式，同时减去x，可以证明x=f（x）在1到2有一个根x0，根据单调性可以证明x0是唯一的。然后在x0处劈成两半，若x1＜x0可以推出数列单调递增，结合函数单调性可以根据数学归纳法证明此时一定有xn＜x0（若xm＜x0，f是一个严格单调增函数，f(xm)＜f(x0)，即xm+1＜x0。又x1＜x0,故可推出对于任意的n，都有xn＜x0）。单调有界则极限存在，记作A，必有A=f(A)，于是A=x0，因为这个零点是唯一的，而x0介于1到2，这样这个情况就证明完毕了。
大于x0的情况，也可以仿造小于x0来写,这个时候变成了单调减有下界。
等于x0的情况是显然的，不做赘述

Answer 3

拉格朗日啊兄弟，这题太简单了