Question

线性代数怎么得到这一步

为什么前面说秩为1就有了红色圈里的结论？
(我知道怎样计算，问的是这一步和前提的秩为1有什么关系，比如秩为1的3阶矩阵就有:特征多项式等于λ³－∑aiiλ²这个结论)

Answer 1

B的秩为1，可以直接用初等变换搞出来。

至于划红线的那个值怎么来的，下面的网友已经给出了答案。我不在赘述。WPS公式编辑器比手写难用。

Answer 2

如下行列式的计算过程，望采纳

追问

为什么前面要说矩阵B的秩为1呢？是有什么公式吗？像秩为1的三阶矩阵就有特征多项式等于λ³－∑aiiλ²

追答

不是，只是提一下

望采纳

追问

我知道怎么算，问的是为什么秩为1，有后面的结论

追答

还是直接算比较好，再说最好不要记太多二次结论

Answer 3

B的秩为1，那么0就是B的n-1重特征值。那么|λE-B|就一定等于（λ-a）λ^（n-1）。期中a是另外那个特征值。
而由于矩阵所有特征值的和等于矩阵主对角线元素的和，而由于有n-1重特征值0。所以主对角线元素的和即为另外那个特征值。

追问

知道了特征值是a和n-1个0后，为什么特征多项式的结构可以写成（λ-a）λ^（n-1）呢？

追答

因为|λE-B|＝（λ－λ1)(λ-λ2）……（λ－λn）＝0
其中λ1，λ2，……，λn是B的特征值。
现在知道其中n-1个是0了，那么不就是那样么？

Answer 4

显然|入E-B|的各行元素之和都等于
（入-n）
所以，将行列式的后n-1列都加到第一列，则第一列都化为(入-n)
将第一列的公因数(入-n)提出，第一列都变为了1，再将第一列加到后面各列，则行列式化为一个下三角形行列式，其主对角线上的元素为一个1，n-1个入。
所以行列式的值为
入^(n-1)(入-n)
就是书上的结果。