Question

关于圆与直线的问题

已知：与圆x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线L交x,y轴于A，B两点，O为坐标原点，|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2)
（1）求证：（a-2)(b-2)=2
(2)求三角形AOB面积的最小值

Answer 1

圆的标准式为(x-1)^2+(y-1)^2=1，即以（1，1）为圆心，1为半径的圆。

设直线L为mx+ny+p=0，则L过A（a,0）,B(,0,b).把A、B两点代入直线L，解得直线L解析式为bx+ay-ab=0.

（1）
因为直线L与圆相切，故圆心（1，1）到直线L的距离等于圆的半径。则

|a+b-ab|/根号下a^2+b^2=1。

化简上式得ab-2(a+b)+2=0,即（a-2)(b-2)=2

（2）
三角形AOB面积=ab/2.
由（a-2)(b-2)=2得ab/2=(a+b)-1
而(a+b)-1>=2根号下ab-1，当且仅当a=b时=号成立。即当a=b时，ab/2有最小值。

解方程组
a=b............1
ab/2=(a+b)-1...2

得a=b=2+根号下2

所以三角形AOB面积=ab/2=3+根号下2