Question

怎样利用数学归纳法证明整除问题？

Answer 1

浅谈数学归纳法的应用
　　数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
　　一、用数学归纳法证明整除问题
　　用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
　　例1、是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
　　证明：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，
f（3）=10×36，
f（4）=34×36，由此猜想m=36.
　　下面用数学归纳法证明：
　　（1）当n=1时，显然成立.
　　（2）假设n=k时，
f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］•3k+1+9=3［（2k+7）•3k+9］+18（3k--1－1），
　　由于3k-1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.
　　由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36.
　　二、用数学归纳法证明恒等式问题
　　对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．
　　例2、是否存在常数
，使得等式
对一切自然数
成立？并证明你的结论．
　　解：假设存在
，使得题设的等式成立，则当时
也成立，代入得
　　解得
，于是对
，下面等式成立：
　　令
　　假设
时上式成立，即
　　那么
　　.........

Answer 2

证明（2n+1）²-1能被8整除，其中N是自然数。
（1）当n=1时，（2×1+1）²-1=8能被8整除，
（2）令n=k时，（2k+1）²-1能被8整除,
(3)当n=（k+1)时，
[2（k+1)+1]²-1
=[（2k+1）+2]²-1
=（2k+1)²+4（2k+1)+4-1
=（2k+1）²-1+4（2k+2)
=（2k+1)²-1+8（k+1)
由（2k+1)²-1和8（k+1)都能被8整除，∴原命题正确。
举一例说明，没有涉及理论，供参考。