Question

已知.当时,求函数的零点;若,求的单调区间;若当时,恒有,求实数的取值范围.

已知. 当时,求函数的零点; 若,求的单调区间; 若当时,恒有,求实数的取值范围.

Answer 1

分和两种情况解即可
分和两种情况去绝对值符号,再在每一段上利用二次函数的单调性分别求单调区间
有已知的的范围,转化为关于的恒成立问题
解:当时,,
当或(负舍),
当不成立,
故的零点为
当,单调递增区间和,单调递减区间
当时,显然成立;
当时,由,可得,
令,,则有.由单调递增,可知.又是单调减函数,故,故所求的取值范围是.
带绝对值的函数找单调区间和最值时,一般是先去绝对值符号,在每一段上分别求单调区间,最后合并来作答.