Question

已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和

已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对于x属于[1,2]恒成立，求实数a是最小值 过程最好详细点，谢谢！！！！！！！

Answer 1

解：
依题意，g(x)+h(x)=2^x......（1）
∵g(x)是奇函数，∴g(-x)=-g(x)
∵h(x)是偶函数，∴h(-x)=h(x)
∴g(-x)+h(-x)=h(x)-g(x)=2^(-x)......(2)
(1)式和(2)式相加，得2h(x)=2^x+2^(-x)，即h(x)=[2^x+2^(-x)]/2
代入（1）得，g(x)=2^x-h(x)=[2^x-2^(-x)]/2
∴ag(x)+h(2x)=a[2^x-2^(-x)]/2+[2^(2x)+2^(-2x)]/2≥0在x∈[1,2]恒成立
∴a[2^x-2^(-x)]+[2^(2x)+2^(-2x)]≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=2^x，∴2^(-x)=1/t，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]
∴原不等式化为a(t-1/t)+(t^2+1/t^2)≥0在t∈[2,4]上恒成立
由不等式a(t-1/t)+(t^2+1/t^2)≥0，可得a(t-1/t)≥-(t^2+1/t^2)
∵当t∈[2,4]时，t-1/t>0恒成立
∴a≥-(t^2+1/t^2)/(t-1/t)=[-(t^2+1/t^2-2)-2]/(t-1/t)
=[-(t-1/t)^2-2]/(t-1/t)=-(t-1/t)-2/(t-1/t)
即a≥-[(t-1/t)+2/(t-1/t)]在t∈[2,4]上恒成立
即a要大于等于-[(t-1/t)+2/(t-1/t)]在t∈[2,4]上的最大值
令u=t-1/t,求导得u`=1+1/t^2>0恒成立，∴u=t-1/t在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[3/2,15/4]
令f(u)=u+2/u
u∈[3/2,15/4]
求导得f`(u)=1-2/u^2>0在u∈[3/2,15/4]上恒成立
∴f(u)在u∈[3/2,15/4]上单调递增
即当u=3/2，f(u)取最小值f(3/2)=17/6
当u=3/2时，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]内故舍去）
∴当t=2时，(t-1/t)+2/(t-1/t)取最小值为17/6
即-[(t-1/t)+2/(t-1/t)]取最大值为-17/6
∴a≥-17/6当t=2，即x=1时取等号
∴a的最小值为-17/6
本题也可以在a(t-1/t)+(t^2+1/t^2)≥0时，通过换元u=t-1/t讲不等式转化为二次不等式u^2+au+2≥0，然后再去讨论。
（1）当对阵轴在（3/2,15/4)内时，有3/2<a/2<15/4，即3<a<15/2
∵u^2+au+2≥0在u∈[3/2,15/4]上恒成立
∴△=a^2-8≤0，解得-2根号2≤a≤2根号2,不在(3,15/2)内，舍去
（2）当对阵轴不在(3/2,15/4）内时，显然二次函数y=u^2+au+2在区间[3/2,15/4]上是单调的，a≥15/2或a≤3
∴要使得u^2+au+2≥0在u∈[3/2,15/4]上恒成立，
只需将3/2和15/4代入后，u^2+au+2的值大于等于0
即(3/2)^2+a(3/2)+2≥0且(15/4)^2+a(15/4)+2≥0
解得，a≥-17/6
即a∈[-17/6,3]∪[15/2,+∞)
∴a的最小值为-17/6
祝你学习愉快~