大一高数 不定积分∫1/(sinx+cosx) dx 求详解
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因为sinx+cosx=2sin(x/2)cos(x/2)+cos²(x/2)-sin²(x/2)
设t=tan(x/2)
则dt=1/2sec²xdx
代入原式可得
∫1/(sinx+cosx)dx
=∫2/(1+2t-t²)dt
=∫2/[2-(t-1)²]d(t-1)
=√2/2∫[1/[√2+(t-1)]+1/[√2-(t-1)]]d(t-1)
=√2/2ln|(t-1+√2)/(t-1-√2)|+C
设t=tan(x/2)
则dt=1/2sec²xdx
代入原式可得
∫1/(sinx+cosx)dx
=∫2/(1+2t-t²)dt
=∫2/[2-(t-1)²]d(t-1)
=√2/2∫[1/[√2+(t-1)]+1/[√2-(t-1)]]d(t-1)
=√2/2ln|(t-1+√2)/(t-1-√2)|+C
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