Question

已知x>0,m>n>0,求证x的m次方+x的m次方分之一>x的n次方+x的n次方分之一

急！！！

Answer 1

设函数y=a^x+1/a^x (a>0)
题目转化为 ，即证此函数为递增函数
设0<x1<x2
y1-y2=(a^x1-a^x2)+(1/a^x1-1/a^x2)
=(a^x1-a^x2)+(a^x2-a^x1)/(a^x1*a^x2)
=(a^x1-a^x2)[1-1/(a^x1*a^x2)]
当a>1时a^x1-a^x2<0,1-1/(a^x1*a^x2)>0
所以y1<y2
当0<a<1时a^x1-a^x2>0,1-1/(a^x1*a^x2)<0
所以y1<y2
当a=1时a^x1-a^x2=0
所以y1=y2
备注：a相当于题目中的x,x1相当于题目中的n,
x2相当于题目中的m
所以终上x的m次方+x的m次方分之一大于或者等于x的n次方+x的n次方分之一
x=1时是等于

如果还有不明白可以问我

Answer 2

注意：x=1时这个不等式不能成立！
当x不等于1,构造函数y=f(t)=a^t+a^(-t),求取y对t的函数，
y'=a^t*lna-a^(-t)*lna=lna[a^t-a^(-t)]
当0<a<1时，lna<0,a^t-a^(-t)<0,导数大于零；
当a>1,y'>0；
可见函数y=a^t+a^(-t)在(0,1)和(1,+无穷)上为增函数
令a=x,当0<x<1，f(m)>f(n)
当x>1，f(m)>f(n)
故当x>1或0<x<1时，该不等式成立