Question

线性代数题 设A=[3 4 5 2],求A的10次方

Answer 1

|A-λE|=(3-λ)(2-λ)-20 =λ^2-5λ-14 =(λ-7)(λ+2).
所以A的特征值为7,-2
A-7E =
-4 4
5 -5
-->
1 -1
0 0
所以 (A-7E)X=0 的基础解系为 a1=(1,1)'
A+2E =
5 4
5 4
-->
5 4
0 0
所以 (A+2E)X=0 的基础解系为 a2=(4,-5)'
令P= (a1,a2) =
1 4
1 -5
则 P^-1AP = diag(7,-2)
所以 A = Pdiag(7,-2)P^-1
所以
A^10 = Pdiag(7^10,(-2)^10)P^-1 = (1/9)*
5*7^10+4*2^10 4*7^10-4*2^10
5*7^10-5*2^10 4*7^10+5*2^10