Question

分段函数f(x)={3x^2+1,-1

Answer 1

设 h(x)=3x^2+1,g(x)=5-x,y=f(x)
由题意知,f(x)的定义域是(-1,9),不妨设为D,其中定义域又分成两段：(-1,3],(3,9)不妨分别设为D1和D2
根据x和y在区间D上的分布情况,f(f(x))将有四种情况：
1,(x,y)∈(D1,D1),
此时由于y∈D1,所以 f(y)=h(y),而又因为x∈D1,所以 y=h(x),故有
f(f(x))=h(h(x))=3*(3x^2+1)^2+1
2,(x,y)∈(D1,D2)
此时有 f(y)=g(y),y=h(x),所以有f(f(x))=g(h(x))=5-(3x^2+1)
3,(x,y)∈(D2,D1)
此时有 f(y)=h(y),y=g(x),所以有f(f(x))=h(g(x))=3*(5-x)^2+1
4,(x,y)∈(D2,D2)
此时有 f(y)=g(y),y=g(x),所以有f(f(x))=g(g(x))=5-(5-x)
现在具体来结合看x在D上变化时,(x,y)的区间分布情况.
x在D1上变化时,y值变化情况是从4减小到1然后增加到28；
此时 y 有几个临界点分别为3,3,9,
对应的 x 分别是 -(2/3)^0.5,(2/3)^0.5,(3/8)^0.5
x在D2上变化时,y值变化情况是从2减小到-4
此时 y 有临界点-1,对应的 x 是6
综合以上分析可得f(f(x))的若干个定义域区间：
(-3,-(2/3)^0.5),此时(x,y)∈(D1,D2)
(-(2/3)^0.5,(2/3)^0.5),此时(x,y)∈(D1,D1)
((2/3)^0.5,(3/8)^0.5),此时(x,y)∈(D1,D2)
((3/8)^0.5,3),此时y超出D的范围,f(f(x))无定义.
(3,6),此时(x,y)∈(D2,D1)
(6,9),此时y超出D的范围,f(f(x))无定义.
再考虑端点情况,x=-(2/3)^0.5时,y=3,故-(2/3)^0.5并入(-(2/3)^0.5,(2/3)^0.5)
同样,x=(2/3)^0.5并入(-(2/3)^0.5,(2/3)^0.5),x=(3/8)^0.5无定义,x=3并入(3,6),x=6无定义.
综上可得：f(f(x))的定义域为(-3,(3/8)^0.5)∪[3,6)
f[f(x)]=
5-(3x^2+1) ,x∈(-3,-(2/3)^0.5)∪((2/3)^0.5,(3/8)^0.5)
3*(3x^2+1)^2+1 ,x∈[-(2/3)^0.5,(2/3)^0.5]
3*(5-x)^2+1 ,x∈[3,6)