Question

为什么泰勒展开二阶导从新取点

Answer 1

泰勒展开二阶导从新取点：两个函数源自同一点，只要在这一点处，外延的所有变化都一致，那么这两个函数就是重合的。如何刻画这种外延的变化?
        多元函数受多个变量的影响，变量的变化造成函数值的变化，因此，只要变量的变化对函数值的影响一致，那么两个源自同一点的函数就完全一样。变量的变化对函数值的影响，是多重多阶的，因此，要使得两个函数一致，就要保证这种影响在任何阶任意维度都是一致的。基于此，两个源自某处的任意阶可导函数，只要在此处的任意变量任意阶任意重导数相等，那么两个函数就完全重合。这种思想对于一元函数，自然可以得到泰勒在此处展开的多项式形式。本文将讲解一下如何推导得到多元函数的二阶展开。
        不失一般性，这里假设多元函数为二元函数，计算在点处的展开。基于上述思想，展开的近似函数，都重合于展开点，一阶偏导必须相等，故一阶展开可以得到如下形式：
上述形式的一阶偏导等号两边显然是相等的，下面继续推导二阶展开。

Answer 2

泰勒展开二阶导从新取点:两个函数源自同一点,只要在这一点处,外延的所有变化都一致,那么这两个函数就是重合的。