Question

设fx=（x-1）/（x+1）,记fn（x）=f{f[Λf（x）]},求f2004（x）

Answer 1

f(1)=f(x)=(x-1)/(x+1),
f(n+1)=f[f(n)]=[f(n)-1]/[f(n)+1],
f(n+1)+a=[f(n)-1]/[f(n)+1]+a=[(a+1)f(n)+(a-1)]/[f(n)+1]=(a+1)[f(n)+(a-1)/(a+1)]/[f(n)+1].
若a=(a-1)/(a+1),比如,a=(-1)^(1/2).
则,f(n+1)+a=(a+1)[f(n)+a]/[f(n)+1],
b(n)=1/[f(n)+a],
b(n+1)=[1/(a+1)][f(n)+1]/[f(n)+a]=[1/(a+1)][f(n)+a+1-a]/[f(n)+a]=1/(a+1) + [(1-a)/(a+1)]b(n)=1/(a+1)-a*b(n),
b(n+1)-1/(a+1)^2 = (1+a-1)/(a+1)^2 - a*b(n)= a[b(n)-1/(a+1)^2],
{b(n)-1/(a+1)^2}是首项=1/[f(1)+a],公比为a的等比数列．
b(n)-1/(a+1)^2 = a^(n-1)/[f(1)+a],
b(n)=a^(n-1)/[f(1)+a]+1/(a+1)^2,
f(n)=1/b(n)-a,
f(2004)=1/b(2004) - a = 1/{a^(2003)/[(x-1)/(x+1) + a] + 1/(a+1)^2} - a,a = (-1)^(1/2).