Question

定义在区间(-1,1)上的函数满足:1:对任意的x,y属于(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(x+y/(1+

定义在区间(-1,1)上的函数满足:1:对任意的x,y属于(-1,1),都有f(x)+f(y)=f[(x+y/(1+xy)]
2.当x属于（-1，0）上是减函数。求：（1）：求证f(x)在区间（-1，1）上是减函数。（2）试解不等式：f(x)+f(x-1)>f(1/2)

Answer 1

1. 这个可以先证明 f(x)是一个奇函数
因为f(x)+f(y)=f[(x+y/(1+xy) 任意的x,y属于(-1,1)成立
现在取x=y=0 那么有 f(0)+f(0)=f(0) 所以f(0)=0
再取y=-x 那么有 f(x)+f(-x)=f(0) 所以f(x)=-f(-x)
因此f(x)是奇函数
因为 （-1，0）上是减函数 同时是奇函数 很好证明它在（0,1）也递减
x1,x2∈（0,1）且x1>x2 那么f(x1)-f(x2)=f(-x2)-f(-x1)
且-x2,-x1∈（-1,0）且-x2>-x1 那么由题意 （-1，0）上是减函数 于是f(-x2)-f(-x1)＜0 f(x1)＜f(x2）
所以f(x)在（0,1）也递减
你还是在综合表述一下它在（-1，1）递减·
2.先看定义域 x∈（-1,1） x-1∈（-1,1） 所以x∈（0,1）
然后 f(x)+f(x-1)=f[2x-1/(1+x²-x)]>f(1/2)
由前面： (2x-1)/(1+x²-x) >1/2 解得 x >(5+sqrt13)/2 (不合理 舍去） 或x<(5-sqrt13)/2
所以 x∈ （0， ( 5-sqrt13)/2 )

Answer 2

f[(x+y/(1+xy)]是否表示f[(x+y)/(1+xy)]的意思，我就这样理解啦。