Question

高等数学题一道

f(x) g(x)在[a,b]上可导，且f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)。证明：介于f(x)两个零点x1、x2之间有g(x)的一个零点。其中x1、x2均在（a,b）内。

Answer 1

【证】反证法：假设在介于f(x)两个零点x1、x2之间没有g(x)的一个零点
令F(x)=f(x)/g(x)，则显然在[x1，x2]内g(x)不等于0. 且有：
1）在闭区间[x1,x2]上连续；
2)在开区间(x1,x2)内导;
3)F(x1)=F(x2)=0
由罗尔定理可知，在区间(x1，x2)内至少存在一点ξ(x1<ξ<x2)，使得 F'(ξ)=0，即：F'(ξ)=[f'(ξ)g(ξ)-f(ξ)g'(ξ)]/[g(ξ)]^2=0由此可得f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ),与已知在[a,b]上f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)矛盾。所以假设不成立，也就是原命题得证，介于f(x)两个零点x1、x2之间有g(x)的一个零点。其中x1、x2均在（a,b）内。 【证毕】

思路：1）由于题目给条件是两端点的情况，所以可以考虑使用罗尔定理
2）题设中给出的条件式子是f'(x)g(x)与f(x)g'(x)，由这连个式子，自然应该联想到了[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2这样的一个关系式
3）通过题设条件的f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)与2）中的式子，可以想到使用反证来证明此题。

Answer 2

如果g(x)在[x1,x2]没有零点，那么F(x)=f(x)/g(x)在[x1,x2]连续，在(x1,x2)可导,且F(x1)=F(x2)=0,根据罗尔定理，在(x1,x2)内有一点ξ使得F'(ξ)=[f'(ξ)g(ξ)-f(ξ)g'(ξ)]/[g(ξ)]^2=0,于是f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ),这与在[a,b]上f'(x)g(x)不等于f(x)g'(x)矛盾。

Answer 3

好难 不会啊。。。