Question

设函数f(x)=x³-1,用导数的定义求 f'(x)及f'(-1).

Answer 1

根据导数的定义，当自变量x在某一点a处有导数时，该导数就等于函数f(x)在该点处的极限值：
f'(a) = lim_{h->0} [f(a+h)-f(a)]/h
将函数f(x)=x³-1代入上式，得到
f'(x) = lim_{h->0} [(x+h)³ -1 - x³ + 1]/h
化简可得：
f'(x) = lim_{h->0} [3x²h + 3xh² + h³]/h
f'(x) = lim_{h->0} (3x² + 3xh + h²)
当h趋近于0时，除了h²项以外的其他项都趋近于3x²+0+0=3x²。因此，可得：
f'(x) = 3x²
特别地，当a=-1时，有：
f'(-1) = 3*(-1)² = 3