Question

已知△ABC中，向量m=（-1，√3），向量n=（cosA，sinA），且m·n=1

已知△ABC中，向量m=（-1，√3），向量n=（cosA，sinA），且m·n=1
①求角A
②若（1+sin2B）／（cos²B-sin²B）=3，求tanB

Answer 1

m.n=√3sinA-cosA=1
两边同时除以二得：
√3/2sinA-1/2cosA=1/2
cos30sinA-sin30cosA=1/2
sin(A-30)=1/2
A-30=30
A=60
在这里30代表30度
（1+sin2B）=1+2sinBcosB=sin²B+cos²B+2sinBcosB=（sinB+cosB)²
而cos²B-sin²B=（cosB+sinB）.（cosB-sinB）
（1+sin2B）／（cos²B-sin²B）=(sinB+cosB)/(cosB-sinB）=3
即是sinB+cosB=3(cosB-sinB）
tanB=1/2

Answer 2

1.求A
m·n=(-1)*cosA+√3*sinA=√3sinA-cosA=[(√3)^+1^]*sin[A-arctan(1/√3)]
=2sin(A-π/6)
已知m·n=1
<=>sin(A-π/6)=1/2
∵A为△ABC的内角
∴0<A<π
<=>-π/6<A-π/6<5π/6
结合基本正弦函数y=sinx的图像，当自变量x∈(-π/6,5π/6)时，能使y=sinx=1/2的x值只有一个：x=π/6
∴A-π/6=π/6
<=>A=π/3

2.由已知：(1+sin2B)/(cos^B*sin^B)=3
<=>1+sin2B=3*sin^B*cos^B=(3/4)*4*sin^B*cos^B=(3/4)*(2sinBcosB)^
=(3/4)*sin^2B
<>3sin^2B-4sin2B-4=0
<=>(3sin2B+2)*(sin2B-2)=0
<=>sin2B=-2/3
设tanB=t,由万能公式，有：
sin2B=2t/(1+t^)=-2/3
<=>t^+3t+1=0
<=>t=(-3/2)±√5/2
即：tanB1=(√5-3)/2≈-0.38
或tanB2=-(√5+3)/2≈-2.62

第1问已求A=π/3
<=>B+C=π-A=2π/3
∴0<B<2π/3
前方已求出tanB的两个值，它们均为负值，而通过已求出的sin2B=2sinB*cosB
=-2/3<0 <=> cosB<0,sinB>0 <=> tanB=sinB/cosB<0 再次验证了tanB<0的事实，因此，结合0<B<2π/3，可知π/2<B<2π/3
根据y=tanB的图像，可判断出tanB的范围：tanB<tan(2π/3)=-√3≈-1.73
比较刚才得出的两个tanB的值，舍去其中的tanB1=(√5-3)/2≈-0.38，保留tanB2=-(√5+3)/2≈-2.62的值
于是，tanB的唯一值为：tanB=-(√5+3)/2