Question

已知：一元二次方程二分之一x方+kx+k-二分之一=0。

（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）设k小于0，当二次函数y=二分之一x方+kx+k-二分之一的图像与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与三角形ABC的外接圆有公共点？

Answer 1

解：（1）因为 方程1/2x^2+kx+k-1/2=0的判别式△=k^2-2k+1=(k-1)^2≥0
所以 方程1/2x^2+kx+k-1/2=0有两个实数根；
（2）设二次函数图象与x轴的两个交点坐标是A(x1,0) B(x2,0)则|x1-x2|=4
根据一元二次方程的根与系数的关系 得 x1+x2=-2k x1x2=2k-1
所以（x1-x2)^2=16 (x1+x2)^2-4x1x2=16 即 (-2k)^2-4(2k-1）=16 解得k=-1 或k=3(舍）
所以y=1/x^2-x-3/2
(3)在（2）的条件下，C(1，-2），A(-1,0),B(3,0) 显然△ABC是直角三角形，所以△ABC外接圆是以AB中点（1,0）为圆心，以2为半径的圆，要满足直线L与这个圆有公共点，必须使圆心到直线L的距离小于或等于半径2， 所以 -2≤m≤2 (题中的点M坐标要改为（0，m) )