Question

微积分 判断连续性间断点 求解题过程

Answer 1

当x趋于0时，f（x）的左极限 =limf（x）=lim （x^3-x）/sinπx=lim（x^3-x）/πx=lim（x^2-1）/π（x趋于0）=-1/π
当x趋于0时，f（x）的右极限 =limf（x）=lim sin1/（x^2-1）=sin(-1)=-sin1
而-1/π不等于-sin1
所以x=0是跳跃间断点

追问

还有x=kTT和1，-1的情况呢？

追答

当x=kπ时，左极限趋于无穷 有极限=sin1/（k^2π^2-1）
所以x=kπ是无穷间断点
当x趋于1时，右极限趋于无穷
令t=x-1 得到t趋于0
x^3-x/sinπx=x^3-x/-sin（πx-π）=t（t+1）（t+2）/-sinπt
得到左极限=t（t+1）（t+2）/-πt=-2/π
此时x=1是无穷间断点
当x=-1时，令t=x+1 得到左极限=-2/π
右极限趋于无穷
此时x=-1是无穷间断点