Question

已知f(x)=x^3-6x^2+9x-abc,a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=0,

请详细说明，为什么要使f(x)=0有三个解a、b、c，那么由草图(自己画一个)可知：这个零点这可能在f(1)~~f(3)之间？？？
谢谢！

Answer 1

f(x)=x³-6x²+9x-abc
那么f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)
当1<x<3时，f'(x)<0；当x<1，或x>3时，f'(x)>0
所以f(x)的单调递增区间为(-∞，1)∪(3，+∞)
单调递减区间为(1，3)
所以f(x)极大值=f(1)=1-6+9-abc=4-abc，
f(x)极小值=f(3)=27-54+27-abc=-abc
要使f(x)=0有三个解a、b、c，那么由草图(自己画一个)可知：
这个零点这可能在f(1)~~f(3)之间，所以f(1)=4-abc>0，且f(3)=-abc<0
所以0<abc<4。

f'(x)=3x²-12x+9
=3(x-1)(x-3)
可知函数单调递减区间为（1，3）
分析函数可知：f(1)>0,f(3)<0,
得：0<abc<4
可知f(0)=-abc<0

追问

为什么
要使f(x)=0有三个解a、b、c，那么由草图(自己画一个)可知：
这个零点这可能在f(1)~~f(3)之间，